Algebra: junho 2009

Divisão

Temos três caminhos para chegar ao resultado de uma divisão de frações.
1° caminho: REPARTINDO
Podemos encontrar o resultado de algumas divisões de frações utilizando a idéia de repartir.
Por exemplo, se repartimos de uma barra de chocolate entre 2 crianças, cada uma receberá a metade de da barra:

Então, o resultado da divisão de por 2 é . Escrevemos: .
2° caminho: QUANTAS VEZES CABE?
Em outros casos encontramos o resultado verificando quantas vezes um número cabe no outro.
Com números naturais estamos acostumados a fazer isto. Por exemplo, se queremos achar o resultado de 8 dividido por 4, procuramos quantas vezes 4 cabe em 8. Como 4 cabe 2 vezes em 8 (2 x 4 = 8), dizemos que 8 : 4 = 2.
Podemos aplicar esta idéia a frações. Quando procuramos o resultado de , estamos querendo saber quantas vezes cabe em . Um desenho responde imediatamente:

Então podemos escrever:

Como se pode perceber, as idéias de "repartir" e de "quantas vezes cabe" são equivalentes. É uma questão de se achar mais fácil ou mais difícil usar cada uma delas, em cada caso.

Propriedades da multiplicação

Comutatividade: A ordem dos fatores não altera o resultado da operação. Assim, se x . y = z, logo y . x = z.

Associatividade: O agrupamento dos fatores não altera o resultado. Assim, se (x . y) . z = w, logo x . (y . z) = w.

Distributividade: Um fator colocado em evidência numa soma dará como produto a soma do produto daquele fator com os demais fatores. Assim, x . (y + z) = (x . y) + (x . z).

Elemento neutro: O fator 1 (um) não altera o resultado dos demais fatores. O um é chamado "Elemento neutro" da multiplicação. Assim, se x . y = z, logo x . y . 1 = z.(obs:o 0 é o da soma.)

Elemento opositor: O fator -1 (menos um) transforma o produto em seu simétrico. Assim, -1 . x = -x e -1 . y = -y, para y diferente de x.

Fechamento: O produto de dois números reais será sempre um número real.

Anulação: O fator 0 (zero) anula o produto. Assim, x . 0 = 0, e y . 0 = 0, com x diferente de y.

Na matemática , podemos dizer que a multiplicação é a mais simples formar de agruparmos uma quantidade finita de números.Ao efeturmaos uma multiplicação , chegamos a uma resposta que é chamada de PRODUTO.Na geometria , está relacionada tembém como uma operação geométrica - a partir de dois segmentos de retas dados, podemos determinar um outro cujo comprimento seja igual ao produto dos dois inciais.

Subtração

Subtração é uma operação matemática que indica quanto é um valor numérico (minuendo) se dele for removido outro valor numérico (subtraendo).
Uma subtração é representada por:
é o minuendo, é o subtraendo, é a diferença.
A subtração é o mesmo que a adição por um número de sinal inverso. É, portanto, a operação inversa da adição.

Propriedades da adição

Comutatividade: A ordem das parcelas não altera o resultado final da operação. Assim, se x + y = z, logo y + x = z.

Associatividade: O agrupamento das parcelas não altera o resultado. Assim, se (x + y) + z = w, logo x + (y + z) = w.

Elemento neutro: A parcela 0 (zero) não altera o resultado das demais parcelas. O zero é chamado "elemento neutro" da adição. Assim, se x + y = z, logo x + y + 0 = z.

Fechamento: A soma de dois números reais será sempre um número real.
Anulação: A soma de qualquer número e o seu oposto é zero. Exemplo:

* 2 + (-2) = 0

* (-999) + 999 = 0

aerodinamica.

aerodinâmica é o estudo do movimento de fluidos gasosos, relativo às suas propriedades e características, e às forças que exercem em corpos sólidos neles imersos.
De uma forma geral, a aerodinâmica, como ciência específica, só passou a ganhar importância industrial com o surgimento dos aviões e dos automóveis pois estes precisavam se locomover tendo o menor atrito possível com o ar pois assim seriam mais rápidos e gastariam menos combustível.
O estudo de perfis aerodinâmicos, ou aerofólios, provocou um grande salto no estudo da aerodinâmica. Neste início o desenvolvimento da aerodinâmica esteve intimamente ligado ao desenvolvimento da hidrodinâmica que apresentava problemas similares, e com algumas facilidades experimentais, uma vez que já havia tanques de água circulante na época embora não houvesse túneis de vento. George Cayley é considerado o Pai da Aerodinâmica.

Forças da aerodinâmica da aviação

[editar] Peso
O peso é uma força que é sempre dirigida para o centro da terra: trata-se da força da gravidade. A magnitude desta força depende de todas as partes do avião, mais a quantidade de combustível, mais toda a carga (pessoas, bagagens, etc.). O peso é gerado por todo o avião. Mas nós podemos simplesmente imaginá-la como se atuasse num único ponto, chamado centro de gravidade. Em vôo, o avião gira sobre o centro de gravidade, e o sentido da força do peso dirige-se sempre para o centro da terra. Durante um vôo, o peso do avião muda constantemente à medida que o avião consome combustível. A distribuição do peso e do centro de gravidade pode também mudar, e por isso o piloto deve constantemente ajustar os controles, ou transferir o combustível entre os depósitos, para manter o avião equilibrado.

[editar] Sustentação
Para fazer um avião voar, deve ser gerada uma força para compensar o peso. Esta força é chamada sustentação e é gerada pelo movimento do avião através do ar. A sustentação é uma força aerodinâmica ("aero" significa ar, e " dinâmica" significa movimento). A sustentação é perpendicular (em ângulo reto) ao sentido do vôo. Tal como acontece com o peso, cada parte do avião contribui para uma única força de sustentação, mas a maior parte da sustentação do avião é gerada pelas asas. A sustentação do avião funciona como se atuasse num único ponto, chamado centro de pressão. O centro de pressão é definido tal como o centro de gravidade, mas usando a distribuição da pressão em torno de toda a aeronave, em lugar da distribuição do peso. Além do centro de pressão, outro ponto no aerofólio é de grande importância no projeto de uma aeronave: o centro aerodinâmico. Neste, o coeficiente de momento não varia quando variamos o ângulo de ataque. O coeficiente de momento é um coeficiente adimensional que qualifica e quantifica se, para certo aerofólio, há um momento picante ou cabrante sobre o engaste da asa. Este momento é fundamental, por exemplo, na determinação das cargas aerodinâmicas para definição da estrutura e para o projeto de sistemas de controle, como o profundor.

[editar] Arrasto
À medida que o avião se move através do ar, há uma outra força aerodinâmica presente. O ar resiste ao movimento do avião, e esta força de resistência é denominada arrasto (ou atrito). Tal como a sustentação, há muitos fatores que afetam a magnitude da força de arrasto, como a forma do avião, a viscosidade do ar e a velocidade. E tal como acontece com a sustentação, consideram-se usualmente todos os componentes individuais como se estivessem agregados num único valor de arrasto de todo o avião. O sentido da força de arrasto é sempre oposto ao sentido do vôo, e o arrasto atua através do centro de pressão.
Quando um avião aumenta o ângulo de ataque, aumenta também a sustentação; mas há uma geração de gradientes de pressão adversos. À partir de um certo ângulo de ataque, estes gradientes de pressão adversos resultam no descolamento da camada limite, cuja geração de vórtices de von Kárman caracteriza o fenômeno conhecido como estol. No estol, perde-se sustentação, e o arrasto aumenta significantemente. É por este fato que, na fase de decolagem de um aeromodelo, não se deve fazê-lo subir em ângulo muito acentuado. Algumas aeronaves, principalmente aquelas com projeto de calda em T, correm o risco de sofrerem "deep stall" (estol profundo), pois a esteira gerada na asa durante o estol cobre o estabilizador horizontal, fazendo-a perder capacidade de controle e impedindo que a aeronave retorne para sua atitude inicial. Por este motivo, além disso, aeronaves acrobáticas devem possuir um projeto de empenagem que garanta a saída do estol e parafuso. Aeronaves com sistemas de controle mais complexos, como os caças e jatos comerciais, em geral possuem sistemas automáticos para proteção de estol, como o "shaker" e o "pusher".

Volume

O volume de um corpo é a quantidade de espaço ocupada por esse corpo. Volume tem unidades de tamanho cúbicas (por exemplo, cm³, m³, in³, etc.) Então, o volume de uma caixa (paralelepípedo retangular) de comprimento T, largura L, e altura A é:

V = T x L x A

Sua unidade no Sistema internacional de unidades é o metro cúbico (m³). A seguinte tabela mostra a equivalência entre volume e capacidade.

Fórmulas do volume

Fórmulas comuns para o cálculo do volume de sólidos:

Cubo:
$s^3 = s \cdot s \cdot s$ (onde s é o comprimento de um lado)

Paralelepípedo:
$l \cdot c \cdot a$ (largura, comprimento, altura)

Cilíndro:
$\pi \cdot r^2 h$ (r = raio de uma face circular, h = altura)

Esfera:
$\frac{4}{3} \pi r^3$ (r = raio da esfera)

Elipsóide:
$\frac{4}{3} \pi abc$ (a, b, c = semi-eixos do elipsoide)

Pirâmide:
$\frac{1}{3} A h$ (A = área da base, h = altura)

Cone:
$\frac{1}{3} \pi r^2 h$ (r = raio do círculo na base, h = altura)

Prisma:
$A \cdot h$ (A = área da base, h = altura)

Qualquer figura

$\int A(h) dh$

onde h é qualquer dimensão da figura, e A(h) é a área da intersecção perpendicular para h descrita pela função da posição ao longo de h.

Cálculo integral

Para o cálculo de volumes é possível utilizar-se integrais com duas variaveis. A tabela seguinte apresenta alguns exemplos:

Sólido	Integral	Onde
Esfera	$\int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{\rho=0}^{2\pi} r\, d\rho\,d\theta = {4 \over 3} \pi r^3$	$r\!$ : raio
Paralelepípedo	$\int_0^a \int_0^b \int_0^c dx dy dz = abc$	$a, b, c\!$ : dimensões das arestas

Tipos de fração

própria: o numerador é menor que o denominador. Ex.: $\frac{1}{2}$

imprópria: o numerador é maior que o denominador. Ex.: $\frac{7}{3}$

mista: constituída por uma parte inteira e uma fracionária. Ex.: $2 \frac{1}{3}$ .Pode-se encontrar uma fração imprópria a partir do número misto: $3\frac{1}{2}$ 2x3=6 6+1=7 (7=numerador/2=denominador)e assim por diante repetindo o denominador

aparente: é quando o numerador é múltiplo ao denominador. Ex.: $\frac{4}{4}$

equivalentes: aquelas que mantêm a mesma proporção de outra fração. Ex.: $\frac{4}{4} = \frac{2}{2}$ 4 e 4 dividos por 2(ou outro número) é igual a 2.

irredutível: o numerador e o denominador são primos entre si, não permitindo simplificação. Ex.: $\frac{9}{22}$

unitária: o numerador é igual a 1 e o denominador é um inteiro positivo. Ex.: $\frac{1}{3}$

egípcia: fração que é a soma de frações unitárias, distintas entre si. Ex: ${\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{15}} = \frac{3}{5}$

decimal: o denominador é uma potência de 10. Ex.: $\frac{437}{100}$

composta: fração cujo numerador e denominador são frações: $\frac{\frac{19}{15}}{\frac{5}{6}}$

contínua: fração constituída a partir de uma sequência de inteiros naturais $(a 0, a 1, a 2, a 3,..., a k,...)$ da seguinte maneira $a_0 + \frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\frac{1}{...}}}}$

Adição e Subtração de frações

Para calcular a soma ou a subtração de frações iremos precisar dos conhecimentos sobre a propriedade utilizada para encontrarmos frações equivalentes.

Existem dois tipos de soma e subtração de fração, quando os denominadores das frações envolvidas na soma ou na subtração são iguais ou quando esses denominadores são diferentes.

Denominadores iguais.

Quando as frações envolvidas, tanto na soma como na subtração, são iguais dizemos que seus inteiros foram repartidos em partes iguais. Então, se somarmos

,
obteremos:

Portanto, quando os denominadores são iguais, basta repetir e somar ou subtrair os numeradores.

Denominadores diferentes.

Quando as frações envolvidas na operação de adição e subtração têm seus denominadores diferentes devemos torná-los iguais, podendo fazer de duas formas diferentes, veja:

Se somarmos as frações

, obteremos:

Devemos tornar os denominadores iguais, se multiplicarmos o denominador 3 por 2 ele ficará igual ao outro (6) (como multiplicamos o denominador por 2 devemos multiplicar o seu numerador por 2 também), veja:

Se subtrairmos as frações

devemos tornar da mesma forma que na soma os
denominadores iguais, veja:

Observação: depois que tornamos os denominadores iguais utilizando a propriedade da equivalência de fração, basta repetir os denominadores e somar ou subtrair os expoentes.

Algebra

quinta-feira, 18 de junho de 2009